Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2

2

，PA=2，E是PC上的一點(diǎn)，PE=2EC．
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大�。�

Answer 1

分析：（I）先由已知建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)D（

2

，b，0），從而寫出相關(guān)點(diǎn)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件，證明PC⊥BE，PC⊥DE，從而利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論即可；
（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用兩平面垂直的性質(zhì)，即可求得b的值，最后利用空間向量夾角公式即可求得線面角的正弦值，進(jìn)而求得線面角

解答：解：（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)D（

2

，b，0），則C（2

2

，0，0），P（0，0，2），E（

4 2

3

，0，

2

3

），B（

2

，-b，0）
∴

PC

=（2

2

，0，-2），

BE

=（

2

3

，b，

2

3

），

DE

=（

2

3

，-b，

2

3

）
∴

PC

•

BE

=

4

3

-

4

3

=0，

PC

•

DE

=0
∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED
（II）

AP

=（0，0，2），

AB

=（

2

，-b，0）
設(shè)平面PAB的法向量為

m

=（x，y，z），則

m • AP =2z=0 m • AB = 2 x-by=0

取

m

=（b，

2

，0）
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=（p，q，r），則

n • PC =2 2 p-2r=0 n • BE = 2 3 p+bq+ 2 3 r=0

取

n

=（1，-

2

b

，

2

）
∵平面PAB⊥平面PBC，∴

m

•

n

=b-

2

b

=0．故b=

2

∴

n

=（1，-1，

2

），

DP

=（-

2

，-

2

，2）
∴cos＜

DP

，

n

＞=

n • DP

| n |•| DP  |

=

1

2

設(shè)PD與平面PBC所成角為θ，則sinθ=

1

2

∴θ=30°
∴PD與平面PBC所成角的大小為30°

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量解決立體幾何問題的一般方法，線面垂直的判定定理，空間線面角的求法，有一定的運(yùn)算量，屬中檔題