Question

16．已知在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊．若b•cosC+c•cosB=4a•cosB，b=4，則△ABC的面積的最大值為$\frac{{4\sqrt{15}}}{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得sinA=4sinAcosB，又sinA≠0，從而可求cosB，進而可求sinB，利用余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，進而利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：根據(jù)b•cosC+c•cosB=4a•cosB，可得sinBcosC+sinCcosB=4sinAcosB，
∴sin（B+C）=sinA=4sinAcosB，又sinA≠0，
∴$cosB=\frac{1}{4}，sinB=\sqrt{1-{{（\frac{1}{4}）}^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∵${b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB={a^2}+{c^2}-2ac×\frac{1}{4}$，
∴$16={a^2}+{c^2}-\frac{1}{2}ac≥2ac-\frac{1}{2}ac$，
∴$ac≤\frac{32}{3}$，當且僅當a=c時，等號成立，
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB≤\frac{1}{2}×\frac{32}{3}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}=\frac{{4\sqrt{15}}}{3}$．
故答案為：$\frac{{4\sqrt{15}}}{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．