Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x（x∈R），當(dāng)0＜θ≤

π

2

時(shí)，f（msinθ）+f（sinθ-sin²θ-2）＜0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，2

  2

  -1）
• B、（-∞，2

  2

  ）
• C、（-∞，3）
• D、（-∞，2）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：通過求f′（x）容易判斷f（x）在R上是增函數(shù)，而f（x）又是奇函數(shù)，所以可以得到0＜θ≤

π

2

時(shí)，sin²θ-（m+1）sinθ+2＞0恒成立．所以設(shè)sinθ=t，g（t）=t²-（m+1）t+2，所以便有對(duì)任意t∈（0，1]，g（t）＞0恒成立，所以討論g（t）對(duì)稱軸t=

m+1

2

的取值情況，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)情況即可求出滿足g（t）＞0恒成立時(shí)的m的取值范圍．

解答： 解：顯然f（x）為奇函數(shù)；
∵f′（x）=3x²+1＞0；
∴f（x）在R上為增函數(shù)；
∴由f（msinθ）+f（sinθ-sin²θ-2）＜0得：
f（msinθ）＜f（-sinθ+sin²θ+2）；
∴msinθ＜-sinθ+sin²θ+2；
整理成：sin²θ-（m+1）sinθ+2＞0；
若設(shè)sinθ=t，則根據(jù)已知條件知：
x∈（0，1]時(shí)，t²-（m+1）t+2＞0恒成立；
設(shè)g（t）=t²-（m+1）t+2；
∴①

m+1

2

≤0，即m≤-1時(shí)，g（t）在（0，1]上單調(diào)遞增，且g（0）=2＞0；
∴此時(shí)滿足g（t）＞0恒成立；
②0＜

m+1

2

＜1，即-1＜m＜1時(shí)，g（t）在（0，1]上的最小值g（

m+1

2

）=

8-(m+1)2

4

＞0；
解得-2

2

-1＜m＜2

2

-1；
∴此時(shí)-1＜m＜1；
③

m+1

2

≥1，即m≥1時(shí)，g（t）在（0，1]上單調(diào)遞減；
∴g（t）的最小值g（1）=2-m＞0，m＜2；
∴此時(shí)1≤m＜2；
∴綜上得實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，2）．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：考查奇函數(shù)的定義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，換元法解決問題的方法，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)情況求其最小值．