Question

在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．
（1）若a，b，c成等比數(shù)列，求的值域；
（2）若a，b，c成等差數(shù)列，且，求cosB的值．

Answer 1

解：（1）∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，又a²+c²≥2ac，
∴cosB=≥=，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，∴0＜B≤，
f（B）=sinB+cosB=2sin（B+），
又B+∈（，]，∴≤f（B）≤2，
則f（B）的值域?yàn)閇，2]；
（2）∵a+c=2b，∴sinA+sinC=2sinB，
又A-C=，A+C=π-B，
∴A=-，C=-，
∴sin（-）+sin（-）=2sinB，
展開(kāi)化簡(jiǎn)得：cos=2×2sincos，
∵cos≠0，∴sin=，
∴cosB=1-2sin²=1-=．
分析：（1）由a，b，c成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到b²=ac，再利用余弦定理表示出cosB，將b²=ac代入并利用基本不等式變形，求出cosB的范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得出B的取值范圍，然后將所求的式子提取2，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由B的范圍求出這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可求出f（B）的取值范圍；
（2）由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，再利用正弦定理化簡(jiǎn)得到2sinB=sinA+sinC，由B的度數(shù)求出A+C的度數(shù)，再由A-C的度數(shù)，兩者聯(lián)立用B表示出A和C，代入2sinB=sinA+sinC中，等號(hào)左邊利用和差化積公式變形后，根據(jù)cos不為0，可得出sin的值，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cosB后，將sin的值代入即可求出值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等比、等差數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式，余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及和差化積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．