Question

（本小題滿分12分）

    已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是正三角形，側(cè)面ABB₁A₁是菱形，且， M是A₁B₁的中點(diǎn)，

    （1）求證：平面ABC；

    （2）求二面角A₁—BB­1—C的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；   （Ⅱ）。

【解析】本試題抓喲是考查了面面垂直和二面角求解的綜合運(yùn)用。

（1）對于線面垂直的證明，一般利用線線垂直，通過判定定理得到線面垂直的證明，關(guān)鍵是

（2）建立合理的空間直角坐標(biāo)系，然后表示出平面的法向量，以及借助與向量與向量的夾角表示出二面角的平面角的求解的運(yùn)算。

（Ⅰ）∵側(cè)面是菱形且 ∴為正三角形

         又∵點(diǎn)為的中點(diǎn) ∴ 

         ∵∥ ∴

         由已知 ∴平面                          （4分）

   （Ⅱ）（法一）連接，作于，連接

由（Ⅰ）知面，∴

又 ∴面 ∴

∴為所求二面角的平面角       （8分）

設(shè)菱形邊長為2，則

在中，由知：

在中，   ∴

即二面角的余弦值為                     （12分）

（法二）如圖建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)菱形邊長為2

得，

，

則，

，

設(shè)面的法向量，由,得

，令，得                         （8分）

設(shè)面的法向量， 由，得

,令，得                  （10分）

得.

又二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為      （12分）