已知函數(shù)f(x)=
sinπx  (0≤x≤1)
log2014x (x>1)
,若a、b、c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則a+b+c的取值范圍是( 。
A、(1,2014)
B、(1,2015)
C、(2,2015)
D、[2,2015]
分析:根據(jù)題意,在坐標(biāo)系里作出函數(shù)f(x)的圖象,根據(jù)f(a)=f(b)=f(c),確定a,b,c的大小,即可得出a+b+c的取值范圍.
解答:解:作出函數(shù)的圖象如圖,
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直線y=m交函數(shù)圖象于如圖,
不妨設(shè)a<b<c,
由正弦曲線的對稱性,可得(a,m)與(b,m)關(guān)于直線x=
1
2
對稱,
因此a+b=1,
當(dāng)直線y=m=1時,由log2014x=1,
解得x=2014,即x=2014,
∴若滿足f(a)=f(b)=f(c),(a、b、c互不相等),
由a<b<c可得1<c<2014,
因此可得2<a+b+c<2015,
即a+b+c∈(2,2015).
故選:C.
點評:本題以三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)為例,考查了函數(shù)的零點與方程根個數(shù)討論等知識點,利用數(shù)形結(jié)合,觀察圖象的變化,從而得出變量的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax+bsinx,當(dāng)x=
π
3
時,取得極小值
π
3
-
3

(1)求a,b的值;
(2)對任意x1,x2∈[-
π
3
π
3
]
,不等式f(x1)-f(x2)≤m恒成立,試求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)直線l:y=g(x),曲線S:y=F(x),若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件:①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點;②對任意x∈R都有g(shù)(x)≥F(x),則稱直線l與曲線S的“上夾線”.觀察下圖:

根據(jù)上圖,試推測曲線S:y=mx-nsinx(n>0)的“上夾線”的方程,并作適當(dāng)?shù)恼f明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-blnx在(1,2]是增函數(shù),g(x)=x-b
x
在(0,1)為減函數(shù).
(1)求b的值;
(2)設(shè)函數(shù)φ(x)=2ax-
1
x2
是區(qū)間(0,1]上的增函數(shù),且對于(0,1]內(nèi)的任意兩個變量s、t,f(s)≥?(t)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=cos( 2x+
π
3
)+sin2x.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,滿足2
AC
CB
=
2
ab,c=2
2
,f(A)=
1
2
-
3
4
,求△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知矩陣A=
a2
1b
有一個屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
,
①求矩陣A;
②已知矩陣B=
1-1
01
,點O(0,0),M(2,-1),N(0,2),求△OMN在矩陣AB的對應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積.
(2)已知在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
 t
(t為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρco sθ+3=0.
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
②設(shè)點P是曲線C上的一個動點,求它到直線l的距離的取值范圍.
(3)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|.
①求不等式f(x)≥3的解集;
②若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-a在R上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a
2x
+xlnx
,g(x)=x3-x2-x-1.
(1)如果存在x,x∈[0,2],使得g(x)-g(x)≥M,求滿足該不等式的最大整數(shù)M;
(2)如果對任意的s,t∈[
1
3
,2],都有f(s)≥g(t)成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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