Question

橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上存在關(guān)于直線(xiàn)y=x+m對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知線(xiàn)段AB被直線(xiàn)y=x+m垂直平分，且AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線(xiàn)y=x+m上，故可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=-x+b，聯(lián)立方程

y=-x+b x2 4 + y2 3 =1

整理可得7x²-8bx+4b²-12=0，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求中點(diǎn)M，由△=64b²-28（4b²-12）＞0可求b的范圍，由中點(diǎn)M在直線(xiàn)yx+m可得b，m的關(guān)系，從而可求m的范圍

解答：解：設(shè)橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上存在關(guān)于直線(xiàn)y=x+m對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知線(xiàn)段AB被直線(xiàn)y=x+m垂直平分，且AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線(xiàn)y=x+m上，且K_AB=-1
故可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=-x+b
聯(lián)立方程

y=-x+b x2 4 + y2 3 =1

整理可得7x²-8bx+4b²-12=0
∴x1+x2=

8b

7

，y₁+y₂=2b-（x₁+x₂）=

6b

7

由△=64b²-28（4b²-12）＞0可得-

7

＜b＜

7

∴x0=

x1+x2

2

=

4b

7

，y0=

y1+y2

2

=

3b

7

∵AB的中點(diǎn)M（

4b

7

，

3b

7

）在直線(xiàn)y=x+m上
∴

3b

7

=

4b

7

+m，m=-

b

7

∴-

7

7

＜m＜

7

7

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用已知中的對(duì)稱(chēng)性設(shè)出直線(xiàn)方程，且由中點(diǎn)在y=x+m上建立m，b之間的關(guān)系，還要注意方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用．