Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓的離心率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，M為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓M與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵，
∴a=2c，
∴b²=a²﹣c²=3c²
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：
又∵過(guò)點(diǎn)，
∴
∴c=1
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（2）設(shè)M（，）則半徑，圓心到y(tǒng)軸的距離d=||
若圓M與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則有r＞d，即有，
化簡(jiǎn)得，
∵M(jìn)在橢圓上，
∴，代入上不等式得
解得：，
∵﹣2≤≤2，
∴
（3）存在定圓N：（x+1）²+y²=16，使得圓N與圓M相切，圓心N為橢圓的左焦點(diǎn)，
由橢圓的定義知，|M|+|M|=2a=4
∴|M|=4﹣|M|
∴兩圓相內(nèi)切．