Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}，S_n是前n項(xiàng)的和，求證：S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀成等差數(shù)列．設(shè)k∈N^*，S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k成等差數(shù)列嗎？

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，寫出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，分別得到S₅，S₁₀，S₁₅，由等差數(shù)列的等于可得S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀成等差數(shù)列，同理證明S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k成等差數(shù)列．

解答 證明：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
則${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}$，
∴${S}_{5}=5{a}_{1}+\frac{5×4d}{2}=5{a}_{1}+10d$，
${S}_{10}=10{a}_{1}+\frac{10×9d}{2}=10{a}_{1}+45d$，
${S}_{15}=15{a}_{1}+\frac{15×14d}{2}=15{a}_{1}+105d$，
∴S₁₀-S₅=5a₁+35d，S₁₅-S₁₀=5a₁+60d，
則（S₁₀-S₅）-S₅=25d，（S₁₅-S₁₀）-（S₁₀-S₅）=25d．
∴S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀成等差數(shù)列．
S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k成等差數(shù)列．
事實(shí)上，${S}_{k}=k{a}_{1}+\frac{k（k-1）d}{2}$，${S}_{2k}=2k{a}_{1}+\frac{2k（2k-1）d}{2}$，${S}_{3k}=3k{a}_{1}+\frac{3k（3k-1）d}{2}$，
${S}_{2k}-{S}_{k}=k{a}_{1}+\frac{3}{2}{k}^{2}d-\frac{kd}{2}$，${S}_{3k}-{S}_{2k}=k{a}_{1}+\frac{5}{2}{k}^{2}d-\frac{kd}{2}$，
∴$（{S}_{2k}-{S}_{k}）-{S}_{k}={k}^{2}d$，$（{S}_{3k}-{S}_{2k}）-（{S}_{2k}-{S}_{k}）={k}^{2}d$，
即（S_2k-S_k）-S_k=（S_3k-S_2k）-（S_2k-S_k）=k²d，
∴S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k成等差數(shù)列．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．