Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx+4d （a、b、c、d∈R）圖象關(guān)于原點對稱，且x=1時，f（x）取極小值-．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？證明你的結(jié)論；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]時，求證：．|f（x₁）-f（x₂）≤|．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）圖象關(guān)于原點對稱，∴對任意實數(shù)x，都有f（-x）=-f（x）．
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，即bx²-2d=0恒成立．
∴b=0，d=0，即f（x）=ax³+cx．∴f′（x）=3ax²+c．
∵x=1時，f（x）取極小值-．∴f′（1）=0且f（1）=-，
即3a+c=0且a+c=-．解得a=，c=-1．
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，圖象上不存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直
證明：假設(shè)存在x₁，x₂，則f'（x₁）•f'（x₂）=-1
所以（x₁²-1）（x₂²-1）=-1
因為x₁，x₂∈[-1，1]所以x₁²-1，x₂²-1∈[-1，0]
因此（x₁²-1）（x₂²-1）≠-1
所以不存在．
（3）證明：∵f′（x）=x²-1，由f′（x）=0，得x=±1．
當(dāng)x∈（-∞，-1）或（1，+∞）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（-1，1）時，f′（x）＜0．
∴f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，且f_max（x）=f（-1）=，f_min（x）=f（1）=-．
∴在[-1，1]上，|f（x）|≤．
于是x₁，x₂∈[-1，1]時，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=+=．
故x₁，x₂∈[-1，1]時，|f（x₁）-f（x₂）|≤．
分析：（1）根據(jù)奇偶性判斷b、d的值，再有在1處的極值求出a、c．
（2）用假設(shè)法證明．對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在x₁，x₂，則f'（x₁）•f'（x₂）=-1，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
（3）函數(shù)在1和-1處取代極值，判斷其為最值，根據(jù)兩最值之差最大，證明問題．
點評：本題主要考查了函數(shù)在某點取得極值的條件，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，同時考查了分析問題的能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．