已知數(shù)列{an},an≥0,a1=0,an+12+an+1-1=an2,記Sn=a1+a2+…+an,Tn=
1
1+a1
+
1
(1+a1)(1+a2)
+…+
1
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
,當n是正整數(shù)時,求證:
(1)an<an+1
(2)Sn>n-2;
(3)Tn<3.
考點:數(shù)列與不等式的綜合
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)利用數(shù)學歸納法證明即可;
(2)由
a
2
k+1
+ak+1-1=
a
2
k
,k=1,2,3,…,n-1(n≥2)得
a
2
n
+(a1+a2+…+an)-(n-1)=
a
2
1
,利用(1)的結(jié)論即可證明;
(3)利用放縮法由
a
2
k+1
+ak+1=1+
a
2
k
≥2ak,得
1
1+ak+1
ak+1
2ak
(k=2,3,…,n-1,n≥3),
1
(1+a3)(1+a4)…(1+an)
an
2n-2a2
(a≥3),
1
(1+a2)(1+a3)…(1+an)
an
2n-2(
a
2
2
+a2)
=
an
2n-2
1
2n-2
(n≥3),即可得出結(jié)論.
解答: 證明:(1)用數(shù)學歸納法證明.
①當n=1時,因為a2是方程x2+x-1=0的正根,所以a1<a2;
②假設當n=k(k∈N*)時,ak<ak+1,
因為
a
2
k+1
-
a
2
k
=(
a
2
k+2
+ak+2-1)(
a
2
k+1
+ak+1-1)=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1),
所以ak+1<ak+2,
即當n=k+1時,an<an+1也成立.
根據(jù)①和②,可知an<an+1對任何n∈N*都成立;
(2)由
a
2
k+1
+ak+1-1=
a
2
k
,k=1,2,3,…,n-1(n≥2)
a
2
n
+(a1+a2+…+an)-(n-1)=
a
2
1
,
因為a1=0,所以sn=n-1-
a
2
n
,
由an<an+1及an+1=1+
a
2
n
-2
a
2
n+1
得an<1,
所以sn>n-2.
(3)由
a
2
k+1
+ak+1=1+
a
2
k
≥2ak,
1
1+ak+1
ak+1
2ak
(k=2,3,…,n-1,n≥3),
所以
1
(1+a3)(1+a4)…(1+an)
an
2n-2a2
(a≥3),
于是
1
(1+a2)(1+a3)…(1+an)
an
2n-2(
a
2
2
+a2)
=
an
2n-2
1
2n-2
(n≥3),
故當n≥3時,Tn<1+1+
1
2
+…+
1
2n-2
<3,
又因為T1<T2<T3
所以Tn<3.
點評:本題主要考查利用數(shù)學歸納法及放縮法證明不等式成立問題,屬于數(shù)列與不等式的綜合性問題,邏輯性強,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若集合A={x|-1<x<3},B={x|2<x<4},則集合A∩B=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

有3個男生和3個女生參加某公司招聘,按隨機順序逐個進行面試,那么任何時候等待面試的女生人數(shù)都不少于男生人數(shù)的概率是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

數(shù)學教師甲要求學生從星期一到星期四每天復習三個不同的常錯題;每周五對一周內(nèi)所復習的常錯題隨機抽取若干個進行檢測(一周所復習的常錯題每個被抽到的可能性相同).
(1)數(shù)學教師甲隨機抽了學生已經(jīng)復習的4個常錯題進行檢測,求至少有3個是后兩天復習過的常錯題的概率;
(2)某學生對后兩天所復習過的常錯題每個能做對的概率為
4
5
,對前兩天所學過的常錯題每個能做對的概率為
3
5
,若老師從后三天所復習的常錯題中各抽取一個進行檢測,若該學生能做對的常錯題的個數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望E(X).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=3-4x,g(x)=2x+1,H(x)=f(x)+g(x),x∈R.
(1)設函數(shù)M(x)=
H(x)-|f(x)-g(x)|
2
,求M(x)的最大值;
(2)判斷H(x)的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論;
(3)當x∈[a,a+1](a∈R)時,求H(x)的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閻戣姤鍤勯柤鍝ユ暩娴犳艾鈹戞幊閸婃鎱ㄧ€靛憡宕叉慨妞诲亾闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘劖顏熼梻浣芥硶閸o箓骞忛敓锟� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬崘顕ч埞鎴︽偐閸欏鎮欑紓浣哄閸ㄥ爼寮婚妸鈺傚亞闁稿本绋戦锟�