Question

已知集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，則集合M子集的個數(shù)是________；集合M所有子集的元素的和是________．

Answer 1

2¹⁰    55×2⁹
分析：由10個元素組成的集合M的子集是指屬于集合的部分或所有元素組成的集合，其中包括空集．欲求集合M的所有子集的元素和的和，先計算出包含元素1的集合：剩下的9個元素組成的集合含有2⁹個子集，包括空集，同理，在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、5、…、10都出現(xiàn)了2⁹次，從而得出集合M的所有非空子集元素和的和．
解答：由10個元素組成的集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，的子集有：
∅，{1}，{2}，{3}，{4}…{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，…共2¹⁰個．
先計算出包含元素1的集合：剩下的9個元素組成的集合含有2⁹個子集，包括空集
而以上2⁹個子集和元素1組合（含空集），又構(gòu)成了集合M的所有非空子集中含元素1 的非空子集
即：在集合M的所有非空子集中，元素1出現(xiàn)了2⁹次
同理，在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、5、…、10都出現(xiàn)了2⁹次
故集合M的所有非空子集元素和的和為：
（1+2+3+4+…+10）×2⁹=55×2⁹．
故答案為：2¹⁰；55×2⁹．
點評：本題考查集合的子集個數(shù)問題，子集與真子集、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．對于集合M的子集問題一般來說，若M中有n個元素，則集合M的子集共有2ⁿ個，屬于基礎(chǔ)題．