Question

12．已知函數(shù)f（x）=|lg（x-1）|，且實數(shù)a，b滿足1＜a＜b，f（a）=f（$\frac{b-1}$）．
（Ⅰ）求證：a＜2＜b；
（Ⅱ）若f（b）=2f（$\frac{a+b}{2}$），求證：4＜b＜3+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作出函數(shù)圖象，由f（a）=f（$\frac{b-1}$），結(jié)合圖象可得$|lg（a-1）|=|lg（\frac{b-1}-1）|$=$|lg\frac{1}{b-1}|=|lg（b-1）|$，由1＜a＜b，得a-1＜b-1，則lg（a-1）＜0，lg（b-1）＞0，從而得到答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得-lg（a-1）=lg（b-1），即（a-1）（b-1）=1，再由f（b）=2f（$\frac{a+b}{2}$），得|lg（b-1）|=|lg$（\frac{a+b}{2}-1）^{2}$|=|lg$（\frac{a-1+b-1}{2}）^{2}$|，可得$（\frac{a-1+b-1}{2}）^{2}=\frac{1}{b-1}$或$（\frac{a-1+b-1}{2}）^{2}=b-1$，然后說明第一種情況不成立，由$（\frac{a-1+b-1}{2}）^{2}=b-1$，又（a-1）（b-1）=1，可得4（b-1）=（a-1）²+（b-1）²+2，根據(jù)a的范圍，利用不等式放縮可得（b-1）²-4（b-1）+3＞0，解得b-1＞3，b＞4，再看作關(guān)于b-1的一元二次方程求得b-1=2+$\sqrt{2-（a-1）^{2}}$＜2+$\sqrt{2}$，則有4＜b＜3+$\sqrt{2}$．

解答 （Ⅰ）證明：∵f（x）=|lg（x-1）|，∴f（2）=0，
作出函數(shù)圖象如圖：

由f（a）=f（$\frac{b-1}$），得$|lg（a-1）|=|lg（\frac{b-1}-1）|$=$|lg\frac{1}{b-1}|=|lg（b-1）|$，
∵1＜a＜b，∴a-1＜b-1，則lg（a-1）＜0，lg（b-1）＞0，
∴a-1＜1，b-1＞1，即a＜2＜b；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得-lg（a-1）=lg（b-1），即（a-1）（b-1）=1，
由f（b）=2f（$\frac{a+b}{2}$），得|lg（b-1）|=|lg$（\frac{a+b}{2}-1）^{2}$|=|lg$（\frac{a-1+b-1}{2}）^{2}$|，
∴$（\frac{a-1+b-1}{2}）^{2}=\frac{1}{b-1}$或$（\frac{a-1+b-1}{2}）^{2}=b-1$，
若$（\frac{a-1+b-1}{2}）^{2}=\frac{1}{b-1}$，又（a-1）（b-1）=1，
可得4（a-1）=（a-1）²+（b-1）²+2＞4，
得a-1＞1，即a＞2，與a＜2矛盾．
若$（\frac{a-1+b-1}{2}）^{2}=b-1$，又（a-1）（b-1）=1，
可得4（b-1）=（a-1）²+（b-1）²+2，
∵1＜a＜2，
∴4（b-1）=（a-1）²+（b-1）²+2＜（b-1）²+3，
則（b-1）²-4（b-1）+3＞0，解得b-1＞3，b＞4，
再由 4（b-1）=（a-1）²+（b-1）²+2，得（b-1）²-4（b-1）+（a-1）²+2=0，
解得b-1=2+$\sqrt{2-（a-1）^{2}}$＜2+$\sqrt{2}$，b=2-$\sqrt{2-（a-1）^{2}}$＜2（舍去）．
∴b＜3+$\sqrt{2}$．
綜上有4＜b＜3+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合運用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查推理論證能力與邏輯運算能力，屬于難題．