(14分)設(shè)函數(shù),其中。

⑴當(dāng)時,判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;

⑵求函數(shù)的極值點;

⑶證明對任意的正整數(shù),不等式成立。

 

【答案】

⑴當(dāng)時函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增

時,有唯一極小值點

時,有一個極大值點和一個極小值點;時,無極值點。

⑶證明見解析

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用,求解函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值,以及函數(shù)與不等式的綜合運用。

(1)先求解函數(shù)的定義域,然后求解導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零得到單調(diào)區(qū)間。

(2)由⑴得當(dāng)時函數(shù)無極值點,接下來對于參數(shù)b,進(jìn)行分類討論,看導(dǎo)數(shù)為零的解,進(jìn)而確定極值的問題。

(3)當(dāng)時,函數(shù),令函數(shù)

,當(dāng)時,

函數(shù)上單調(diào)遞增,又,時,恒有

恒成立,從而得到證明。

解:⑴由題意知的定義域為(1分),

設(shè),其圖象的對稱軸為,

當(dāng)時,,即上恒成立,當(dāng)時,

當(dāng)時函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。………………………(3分)

⑵①由⑴得當(dāng)時函數(shù)無極值點………………………(4分)

時,有兩個相同的解

時,,時,

函數(shù)上無極值點………………………(5分)

③當(dāng)時,有兩個不同解,

,,即

時,、的變化情況如下表:

由此表可知時,有唯一極小值點;………………(7分)

當(dāng)時,,,此時,的變化情況如下表:

由此表可知:時,有一個極大值點和一個極小值點;……………(9分)

綜上所述:時,有唯一極小值點;時,有一個極大值點和一個極小值點;時,無極值點。(10分)

⑶當(dāng)時,函數(shù),令函數(shù),

,當(dāng)時,

函數(shù)上單調(diào)遞增,又,時,恒有

恒成立…………………………(12分)

故當(dāng)時,有…………………………(13分)

對任意正整數(shù),取,則有,故結(jié)論成立!14分)

 

練習(xí)冊系列答案
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13
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       (Ⅰ)當(dāng)判斷上的單調(diào)性.

       (Ⅱ)討論 的極值點.

 

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(Ⅰ)當(dāng)判斷上的單調(diào)性.
(Ⅱ)討論的極值點.

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