Question

8．是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）=x²+（3a-2）x+a-1圖象在區(qū)間（-1，3）上與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 此題考查的是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用類問(wèn)題．在解答時(shí)，先結(jié)合存在性問(wèn)題的特點(diǎn)先假設(shè)存在a符合題意，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)存在性的問(wèn)題結(jié)合二次函數(shù)的特點(diǎn)即可獲得問(wèn)題的解答，注意驗(yàn)證．

解答 解：∵△=（3a-2）²-4（a-1）=9a²-16a+8＞0，∴函數(shù)f（x）必有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．
又函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間（-1，3）上與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴由零點(diǎn)存在性定理，可得f（-1）?f（3）≤0，即（2-2a）?（10a+2）≤0，解得a≤$-\frac{1}{5}$或a≥1．
因此存在實(shí)數(shù)$a∈（-∞，-\frac{1}{5}]∪[1，+∞）$滿足題設(shè)條件．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用類問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想、零點(diǎn)存在性知識(shí)以及結(jié)果驗(yàn)證的技巧．值得同學(xué)們體會(huì)反思．