Question

 

已知函數(shù)．

（Ⅰ）若有兩個(gè)不同的解，求的值；

（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）求在上的最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）方程，即，變形得，

顯然，x=1已是該方程的根，從而欲原方程有兩個(gè)不同的解，即要求方程

“有且僅有一個(gè)不等于1的解”或“有兩解，一解為1，另一解不等于1” ……3分

結(jié)合圖形，得或……………………………………………………5分

（Ⅱ）不等式對(duì)恒成立，即（*）對(duì)恒成立，

①當(dāng)x=1時(shí)，（*）顯然成立，此時(shí) ……………………………………6分

②當(dāng)x≠1時(shí)，（*）可變形為，令，

因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí)，；而當(dāng)x<1時(shí)，.

所以，故此時(shí)……………………………………………9分

綜合①②，得所求的取值范圍是 ……………………………10分

（Ⅲ）因?yàn)?sub>=,

①  當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知h(x)在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，

且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，經(jīng)比較，此時(shí)h(x)在[-2，2]上的最大值為…11分

②  當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知h(x)在[-2，-1]，上遞減，

在，[1，2]上遞增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，，

經(jīng)比較，知此時(shí)h(x) 在[-2，2]上的最大值為……………………12分

③  當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知h(x)在[-2，-1]，上遞減，

在，[1，2]上遞增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，，

經(jīng)比較，知此時(shí)h(x) 在[-2，2]上的最大值為………………………13分

④  當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知h(x)在，上遞減，

在，上遞增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，

經(jīng)比較，知此時(shí)h(x) 在[-2，2]上的最大值為………………………14分

⑤  當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知h(x)在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，

故此時(shí)h(x) 在[-2，2]上的最大值為h(1)=0………………………………15分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，h(x) 在[-2，2]上的最大值為；

當(dāng)時(shí)，h(x) 在[-2，2]上的最大值為；

當(dāng)時(shí)，h(x) 在[-2，2]上的最大值為0…………………………………16分