Question

4．已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在（0，+∞）是增函數(shù)，且f（2）=0，則滿足f（x-1）＜0的x的范圍是（-∞，-1）∪（1，3）．

Answer 1

分析 因為本題函數(shù)f（x）是抽象型的函數(shù)，所以要求f（x-1）＜0的解集，必須利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知奇函數(shù)的性質(zhì)得到答案．

解答 解：∵f（x-1）＜0，f（2）=0，
∴f（x-1）＜f（2），
∵f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，
∴0＜x-1＜2，
∴1＜x＜3；
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（2）=0，
∴f（x）在（-∞，0）也是增函數(shù)，f（-2）=-f（2）=0，
∴f（x-1）＜0等價于f（x-1）＜f（-2），
∴x-1＜-2，
∴x＜-1；
綜上不等式f（x-1）＜0的解集為{x|x＜-1或1＜x＜3}
故答案為：（-∞，-1）∪（1，3）．

點評 本題考查了奇函數(shù)的定義以及性質(zhì)的運用；奇函數(shù)對稱區(qū)間的單調(diào)性相同；對于抽象型不等式求解集，一般利用函數(shù)的單調(diào)性解．