已知命題p:存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)=x2-4ax+4a2+2在區(qū)間[-1,3]上的最小值等于2;命題q:存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x)=loga(2-ax)在[0,1]上是關(guān)于x的減函數(shù).若“p∧q為假”且“p∨q為真”,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:由題意可得命題p和命題q中,一個為真,另一個為假. 當(dāng)命題p為真時,由f(x)=(x-2m)2+2在區(qū)間[-1,3]上的最小值為2,可得即 -
1
2
≤a≤
3
2
.當(dāng)命題q為真時,可得a>1.分命題p為真、命題q為假以及命題p為假、命題q為真,兩種情況,分別求出實(shí)數(shù)a的取值范圍,再取并集即得所求.
解答:解:由題意可得命題p和命題q中,一個為真,另一個為假.
f(x)=(x-2m)2+2在區(qū)間[-1,3]上的最小值 [f(x)]min=
f(-1)>2    ,(2a<-1)
f(2a)=2   ,(-1≤2a≤3)
f(3)>2      ,(2a>3)

于是,命題p是真命題,等價于-1≤2a≤3,即 -
1
2
≤a≤
3
2

由函數(shù)f(x)=loga(2-ax)在[0,1]上是關(guān)于x的減函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得 a>1.
當(dāng)命題p為真、命題q為假時,-
1
2
≤a≤1.
當(dāng)命題p為假、命題q為真時,a>
3
2

綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-
1
2
,1]∪(
3
2
,+∞).
點(diǎn)評:本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,復(fù)合命題的真假,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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已知命題p:存在實(shí)數(shù)m使m+1≤0,命題q:存在實(shí)數(shù)m使m2-4<0,若p且q為假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(  )

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π
2
成立,命題q:x2-3x+2<0的解集為(1,2).給出下列四個結(jié)論:①“p且q”真,②“p且非q”假,③“非p且q”真,④“非p或非q”假,其中正確的結(jié)論是( 。
A、①②③④B、①②④
C、②③D、②④

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x2
8
+
y2
2
=1
內(nèi)部”,若命題“p且?q”是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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