Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=2-2S_n，（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n等于（　�。�

• A． 3ⁿ
• B． $\frac{2}{{3}^{n}}$
• C． $\frac{1}{{3}^{n}}$
• D． 3ⁿ-2

Answer 1

分析 a_n=2-2S_n，（n∈N^*），當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2-2a₁，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1=2-2S_n-1，可得a_n-a_n-1=-2a_n，化為${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a_n=2-2S_n，（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2-2a₁，解得a₁=$\frac{2}{3}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1=2-2S_n-1，可得a_n-a_n-1=-2a_n，化為${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{2}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$．
∴${a}_{n}=\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=$\frac{2}{{3}^{n}}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．