Question

關(guān)于x的方程x³-3x+m-3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A．（-∞，-1]
B．（-1，5）
C．（1，5）
D．（-∞，1]∪[5，+∞）

Answer 1

【答案】分析：首先設(shè)f（x）=x³-3x．求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向，可知函數(shù)圖象的變化情況，可知方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求得實(shí)數(shù)m的范圍．
解答：解：原方程化為：x³-3x=3-m，
設(shè)f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當(dāng)x∈（-∞，-1），f'（x）＞0；
x∈（-1，1），f'（x）＜0；
x∈（1，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=-1取極大值2，在x=1時(shí)取極小值-2．
根據(jù)f（x）的大致圖象的變化情況，有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，
-2＜3-m＜2
解得a的取值范圍是1＜m＜5．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和圖象，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．本題是一道含參數(shù)的函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程的綜合題，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．屬中檔題．