有兩個(gè)各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列{an},{bn},若對(duì)于任意自然數(shù)n都有an,bn2,an+1成等差數(shù)列,bn2,an+1,bn+12成等比數(shù)列.
(1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)如果a1=1,b1=
2
,記數(shù)列{
1
an
}的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn
分析:(1)根據(jù)題設(shè)條件,由等差數(shù)列的性質(zhì)得到2bn2=an+an+1,由等比數(shù)列的性質(zhì)得到an+12 =bn2bn+12,由此進(jìn)行化簡(jiǎn)整理,能夠證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
(2)由a1=1,b1=
2
,an,bn2,an+1成等差數(shù)列,bn2,an+1,bn+12成等比數(shù)列,利用遞推思想分別求出數(shù)列{an}的前四項(xiàng),再得用合理猜想和累加法求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,最后利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{
1
an
}的前n項(xiàng)和為Sn
解答:(1)證明:∵an,bn2,an+1成等差數(shù)列,
∴2bn2=an+an+1,①
∵bn2,an+1,bn+12成等比數(shù)列,
an+12 =bn2bn+12,②
∵an>0,bn>0,
∴由②得an+1=bn•bn+1,
∴當(dāng)n≥2時(shí),an=bn-1bn ,
∴由①得2bn2=bn-1•bn+bn•bn+1,
∴2bn=bn-1+bn+1
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
(2)∵a1=1,b1=
2

an,bn2,an+1成等差數(shù)列,bn2,an+1,bn+12成等比數(shù)列,
2(
2
)2=1+a2
,a22=(
2
)2b22

解得a2=3,b2=
3
2
2

2(
3
2
2
)2=3+a3
,a32=(
3
2
2
)2b32

解得a3=6,b3=2
2
,
2(2
2
)2=6+a4
,a42=(2
2
)2b42
,
解得a4=10,b4=
5
2
2
,
由此猜想:a2-a1=3-1=2,
a3-a2=6-3=3,
a4-a3=10-6=4,

an-an-1=n,
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1
=1+2+3+4+…+n
=
n(n+1)
2
,
1
an
=
2
n(n+1)
=2(
1
n
-
1
n+1
),
Sn=2(1-
1
2
)+2(
1
2
-
1
3
)+2(
1
3
-
1
4
)
+…+2(
1
n
-
1
n+1
)
=
2n
n+1
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列的證明和數(shù)列前n項(xiàng)和的求法,解題時(shí)要注意遞推思想、函數(shù)思想的合理運(yùn)用,要合理猜想,靈活運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)求和法進(jìn)行解題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)無窮數(shù)列{an}、{bn}滿足anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*).
(Ⅰ)當(dāng)數(shù)列{an}是常數(shù)列(各項(xiàng)都相等的數(shù)列),且b1=
1
2
時(shí),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè){an}、{bn}都是公差不為0的等差數(shù)列,求證:數(shù)列{an}有無窮多個(gè),而數(shù)列{bn}惟一確定;
(Ⅲ)設(shè)an+1=
2an2+an
an+1
(n∈N*)
,Sn=
2n
i=1
bi
,求證:2<
Sn
n2
<6.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆江蘇省高三開學(xué)檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)無窮數(shù)列、滿足

(Ⅰ)當(dāng)數(shù)列是常數(shù)列(各項(xiàng)都相等的數(shù)列),且時(shí),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)設(shè)都是公差不為0的等差數(shù)列,求證:數(shù)列有無窮多個(gè),而數(shù)列惟一確定;

(Ⅲ)設(shè),求證:

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆江蘇省高三開學(xué)檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)無窮數(shù)列、滿足

(Ⅰ)當(dāng)數(shù)列是常數(shù)列(各項(xiàng)都相等的數(shù)列),且時(shí),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)設(shè)、都是公差不為0的等差數(shù)列,求證:數(shù)列有無窮多個(gè),而數(shù)列惟一確定;

(Ⅲ)設(shè),,求證:

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高三(上)開學(xué)數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)無窮數(shù)列{an}、{bn}滿足anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*).
(Ⅰ)當(dāng)數(shù)列{an}是常數(shù)列(各項(xiàng)都相等的數(shù)列),且b1=時(shí),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè){an}、{bn}都是公差不為0的等差數(shù)列,求證:數(shù)列{an}有無窮多個(gè),而數(shù)列{bn}惟一確定;
(Ⅲ)設(shè)an+1=,Sn=,求證:2<<6.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案