Question

20．設(shè)a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=e^2x+|e^x-a|（x∈R）．
（1）求證：函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，判斷f（x）的增減性；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值（用a表示）．

Answer 1

分析 （1）利用反證法，假設(shè)f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），推出矛盾結(jié)果，即可證明函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可；
（3）通過當(dāng)a≤0，$0≤a≤\frac{1}{2}$，$a≥\frac{1}{2}$，分別求函數(shù)f（x）的最小值（用a表示）即可．

解答 證明：（1）假設(shè)f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
而x∈R，則f（0）=0，而f（0）=e⁰+|e⁰-a|=1+|1-a|≠0，故假設(shè)不成立，
從而函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)．
解：（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=e^2x+e^x-a，
設(shè)t=e^x，則t＞0，y=h（t）=t²+t-a=（t+$\frac{1}{2}$）²-a-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)t＞0時(shí)，h（t）單調(diào)增，而t=e^x，也為增函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系得f（x）為增函數(shù)．
（3）設(shè)t=e^x，則t＞0，y=f（x）=t²+|t-a|，
當(dāng)a≤0時(shí)，y=f（x）=t²+t-a在t＞0時(shí)單調(diào)增，則f（x）＞f（0）=-a；
當(dāng)$0≤a≤\frac{1}{2}$時(shí)，y=f（x）=t²+t-a≥f（a）=a²；
當(dāng)$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，$y=f（x）={t^2}+t-a≥f（\frac{1}{2}）=a-\frac{1}{4}$；
故當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的最小值為f（x）_min=-a；
當(dāng)$0≤a≤\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的最小值為f（x）_min=a²，
當(dāng)$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的最小值為f（x）_min=a-$\frac{1}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求解，利用分段函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合分類討論思想是解決本題的關(guān)鍵．考查轉(zhuǎn)化思想計(jì)算能力．