Question

某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)�部介�?3秒與18秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組；第一組[13，14），第二組[14，15），…，第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求這50名學(xué)生百米測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)

.

x

和方差s²．
（Ⅱ）若從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，求這兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由頻率分布直方圖先估算出這50名學(xué)生百米測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)

.

x

，進(jìn)而根據(jù)方差公式，計(jì)算出答案．
（2）由頻率分布直方圖得到成績(jī)?cè)赱13，14）和[17，18]內(nèi)的頻率，然后用50分別乘以兩組的頻率可得第一、五組中的學(xué)生數(shù)，分別設(shè)出兩組中的學(xué)生的成績(jī)，然后用枚舉法寫(xiě)出從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)的總的取法種數(shù)N，找出取出的兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1的取法種數(shù)n，則從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，這兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1的概率P=

n

N

．

解答： 解：（1）由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)赱13，14）的人數(shù)為50×0.06×1=3（人），
成績(jī)?cè)赱14，15）的人數(shù)為50×0.16×1=8（人），
成績(jī)?cè)赱15，16）的人數(shù)為50×0.38×1=19（人），
成績(jī)?cè)赱16，17）的人數(shù)為50×0.32×1=16（人），
成績(jī)?cè)赱17，18]的人數(shù)為50×0.08×1=4（人），
故這50名學(xué)生百米測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)

.

x

=

1

50

（13.5×3+14.5×8+15.5×19+16.5×16+17.5×4）=15.7；
方差s²=

1

50

[（13.5-15.7）²×3+（14.5-15.7）²×8+（15.5-15.7）²×19+（16.5-15.7）²×16+（17.5-15.7）²×4]=1
（2）并設(shè)第一組三人的成績(jī)分別為x、y、z；
第五組四人的成績(jī)分別為A、B、C、D；
則從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)的總的取法種數(shù)為：
xy，xz，yz，AB，AC，AD，BC，BD，CD，xA，xB，xC，xD，yA，yB，yC，yD，zA，zB，zC，zD共21（種）．
取出的兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1的取法種數(shù)為：
xA，xB，xC，xD，yA，yB，yC，yD，zA，zB，zC，zD共12（種）．
則從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，這兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1的概率為P=

12

21

=

4

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了頻率分布直方圖，考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，解答此題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：一、明確頻率分布直方圖中縱軸的單位；二、古典概型及其概率的計(jì)算．解答（2）時(shí)除了枚舉法之外，也可運(yùn)用排列組合知識(shí)求解．此題屬中低檔題．