Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2

2

，且過點
M（2，1），又橢圓E上存在A、B兩點關(guān)于直線l：y=x+m對稱．
（Ⅰ）求橢圓E的方程，
（Ⅱ）求實數(shù)m的取值范圍，
（Ⅲ）設(shè)點P在直線l上，若∠APB=

2π

3

，求S_△APB的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而求得a和b的關(guān)系式，把點（2，1）代入橢圓方程求得a和b的另一關(guān)系式，聯(lián)立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出直線AB的方程和A，B的坐標(biāo)，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0求得n的范圍，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，設(shè)出C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得x₀和y₀的表達(dá)式，代入直線方程求得m和n的關(guān)系式．利用n的范圍確定m的范圍．
（Ⅲ）根據(jù)題意可判斷出△APB為等腰直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積公式求得三角形面積的表達(dá)式，根據(jù)n的范圍確定三角形面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

c

a

=

2

2

且

4

a2

+

1

b2

=1
∴a=

6

，b=

3

∴橢圓E得方程為：

x2

6

+

y2

3

=1

（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=-x+n，設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由

x2+2y2-6=0 y=-x+n

得3x²-4nx+2n²-6=0
∵△＞0∴-3＜n＜3
∵

x1+x2= 2n 3 x1x2= 2n2-6 3

設(shè)A．B的中點C（x₀，y₀），
則

x0= n 3 y0= 2n 3

點C在ly=-x+n上
∴n=3m即-3＜3m＜3得-1＜m＜1

（Ⅲ）依題意得：△APB是等腰三角形，∠APB=

2π

3

∴S△APB=

1

2

|AB|•(

|AB|

2 3

)=

3

12

|AB|2
∵|AB|=

2

|x1-x2|=

4

3

9-n2

∴|AB|2=

16

9

(9-n2)
∴當(dāng)n=0時，S_△APB取最大值

4 3

3

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．位置關(guān)系是歷年高考命題的熱點，平時應(yīng)強(qiáng)化訓(xùn)練．