Question

為響應黨的十八大提出的文化強國建設的號召，某縣政府計劃建立一個文化產業(yè)園區(qū)，計劃在等腰三角形OAB的空地上修建一個占地面積為S的矩形CDEF文化園展廳，如圖點C、D在底邊AB上，E、F分別在腰OB、OA上，已知OA=OB=30米，AB=30

2

米，OE=x米，x∈[14，20]．
（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；
（2）若矩形CDEF展廳的每平方米造價為

37k

S

，綠化（圖中陰影部分）的每平方米造價為

12k

S

（k為正常數(shù)），求總造價W關于S的函數(shù)W=f（S），并求當OE為何值時總造價W最低．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：應用題,不等式的解法及應用

分析：（1）根據題意，分析可得，欲求形CDEF文化園展廳占地面積，只須求出圖中矩形的面積即可，再結合矩形的面積計算公式求出它們的面積即得，最后再根據二次函數(shù)的性質得出其范圍；
（2）對于（1）所列不等式，考慮到其中兩項之積為定值，可利用基本不等式求它的最大值，從而解決問題．

解答： 解：（1）由題意，EF=

2

x，DE=

2

2

（30-x），
∴S=x（30-x）=-（x-15）²+225，
∵x∈[14，20]，
∴S∈[200，225]；
（2）由題意，每平方米造價為

37k

S

•S，綠化（圖中陰影部分）的每平方米造價為

12k

S

•（450-S），
∴W=

37k

S

•S+

12k

S

•（450-S）=25k（

S

+

12×18

S

）≥300

6

k，
當且僅當S=12×18=x（30-x），即x=18時等號成立，
∴f（S）=25k（

S

+

216

S

），當OE為18米時，總造價W最低．

點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用、基本不等式的應用、矩形的面積等基礎知識，屬于中檔題．