Question

已知關于x的不等式（ax-a²-4）（x+1）＜0的解集為A，且A中共含有n個整數(shù)，則當n最小時，實數(shù)a的值為

 

．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：分類討論,不等式的解法及應用

分析：根據(jù)已知關于x的不等式（ax-a²-4）（x+1）＜0，利用a+

4

a

與-1的大小關系，對字母a進行分類討論：①a＜0時，[x-（a+

4

a

）]（x+1）＜0，其中a+

4

a

≤-4＜-1，故解集為（a+

4

a

，-1），利用基本不等式得出a+

4

a

的最大值為-4，從而A中共含有最少個整數(shù)，求得此時實數(shù)a的值；②a=0時，-4（x+1）＜0，解集為（-1，+∞），整數(shù)解有無窮多，不符合條件； ③a＞0時，[x-（a+

4

a

）]（x+1）＜0，此時整數(shù)解有無窮多，不符合條件．

解答： 解：已知關于x的不等式（ax-a²-4）（x+1）＜0，
 ①a＜0時，[x-（a+

4

a

）]（x+1）＞0，其中a+

4

a

≤-4＜-1，
故解集為（-∞，a+

4

a

）∪（-1，+∞），整數(shù)解有無窮多，故a＜0不符合條件；
②a=0時，-4（x+1）＞0，解集為（-1，+∞），整數(shù)解有無窮多，故a=0不符合條件；
③a＞0時，[x-（a+

4

a

）]（x+1）＜0，其中a+

4

a

≥4，
∴故解集為（-1，a+

4

a

），
由于a+

4

a

≥4，當且僅當a=

4

a

，即a=2時取等號，
a+

4

a

的最小值為4，當且僅當a+

4

a

=4時，A中共含有4個整數(shù)，此時實數(shù)a的值為2；
所以整數(shù)解最少有4個，故a＞0符合條件；
綜上所述，a=2．
故答案為：2

點評：本小題主要考查一元二次不等式的應用、元素與集合關系的判斷、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類討論思想．屬于中檔題．