Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

（ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，然后向左平移

π

3

個單位，得函數(shù)g（x）的圖象．若a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a+c=4，且當(dāng)x=B時，g（x）取得最大值，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡得f（x）=sin（2ωx-

π

6

），然后可求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）先求得函數(shù)g（x）的函數(shù)解析式，求出B的值，由余弦定理可求得b≥2，從而可求△ABC的周長取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

+

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）．
∵2ω=

2π

T

=2，∴f（x）=sin（2x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，（k∈Z）．
（2）g（x）=sin（

1

2

×2x+

π

3

-

π

6

）=sin（x+

π

6

）．
∵當(dāng)x=B時，g（x）取得最大值，
∴B+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，∴B=

π

3

．
由余弦定理可知
b2=a2+c2-2accos

π

3

=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
既有16-3(

a+c

2

)2=16-12=4．
∴b≥2，又b＜a+c=4
∴2≤b＜4
∴△ABC的周長取值范圍是[6，8）．

點(diǎn)評：本題主要考察了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用、余弦定理公式的應(yīng)用，屬于中檔題．