Question

設△ABC的三邊分別是a、b、c，且a+b+c=3，求證：3≤a²+b²+c²＜

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Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：利用余弦定理和乘法公式（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc即可證明右邊；利用3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²，即可證明左邊．

解答： 解：先證明右邊：∵a²+b²-2abcosC=c²，a²+c²-2accosB=b²，b²+c²-2bccosA=a²，
∴a²+b²+c²=2abcosC+2accosB+2bccosA＜2ab+2ac+2bc，
∴2（a²+b²+c²）＜（a+b+c）²=3²=9，
∴a2+b2+c2＜

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，即右邊成立．
再證明左邊：∵（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≥0，
∴2（a²+b²+c²）≥2ab+2ac+2bc，
∴3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=3²，
∴a²+b²+c²≥3，當且僅當a=b=c時取等號，即左邊成立．
綜上可知：3≤a²+b²+c²＜

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點評：本題考查了余弦定理、乘法公式和“放縮法”的應用，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．