Question

用定義證明：函數(shù)f（x）=x²+2x^-1在（0，1]上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，先設(shè)在所給區(qū)間上有任意兩個(gè)自變量x₁，x₂，且x₁＜x₂，再用作差法比較f（x₁）與f（x₂）的大小，做差后，應(yīng)把差分解為幾個(gè)因式的乘積的形式，通過(guò)判斷每一個(gè)因式的正負(fù)，來(lái)判斷積的正負(fù)，最后的出結(jié)論．

解答：證明：設(shè)x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（0，1]，則
f（x₁）-f（x₂）=x₁²+2x₁^-1-2x₂^-1
=（

x

2 1

-

x

2 2

）+2（

1

x1

-

1

x2

）=（x₂-x₁）[

2

x1x2

-（x₁+x₂）]
∵x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＜2，

2

x1x2

＞2
∴（x₂-x₁）[

2

x1x2

-（x₁+x₂）]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）=x²+2x^-1在（0，1]上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，做題時(shí)應(yīng)該嚴(yán)格按照步驟去做．屬于基礎(chǔ)題．