Question

對于函數(shù)f（x），若存在實數(shù)對（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b對定義域中的每一個x都成立，則稱函數(shù)f（x）是“（a，b）型函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=4^x是否為“（a，b）型函數(shù)”，并說明理由；
（2）已知函數(shù)g（x）是“（1，4）型函數(shù)”，當x∈[0，2]時，都有1≤g（x）≤3成立，且當x∈[0，1]，g（x）=x²+m（1-x）+1（m＞0）．試求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)給出的新定義，當f（x）=4^x時，定義中的等式化為16^a=b，顯然使該式成立的數(shù)對存在，從而說明函數(shù)f（x）=4^x是“（a，b）型函數(shù)”；
（2）由函數(shù)g（x）是“（1，4）型函數(shù)”，得到g（1+x）g（1-x）=4，變形后得到，若x∈[1，2]，則2-x∈[0，1]，由函數(shù)g（x）在[0，1]上的值域即可得到函數(shù)在[1，2]上的值域，而函數(shù)g（x）在[0，1]上的解析式已給出，利用分類討論求出g（x）在[0，1]上的治愈，取并集后結合1≤g（x）≤3求解m的取值范圍．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）=4^x是“（a，b）型函數(shù)”．
因為由f（a+x）•f（a-x）=b，得4^a+x•4^a-x=16^a=b，所以存在這樣的實數(shù)對，如a=1，b=16．
（2）由題意得，g（1+x）g（1-x）=4，所以當x∈[1，2]時，，其中2-x∈[0，1]，
而x∈[0，1]時，g（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1＞0，且其對稱軸方程為，
①當，即m＞2時，g（x）在[0，1]上的值域為[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，
則g（x）在[0，2]上的值域為，
由題意得，此時無解．
②當，即1≤m≤2時，g（x）的值域為，即，
所以則g（x）在[0，2]上的值域為，
則由題意得且，解得1≤m≤2．
③當，即0＜m≤1時，g（x）的值域為，即，
則g（x）在[0，2]上的值域為，
=，
則，解得：．
綜上所述，所求m的取值范圍是．
點評：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)的值域，考查了分類討論得數(shù)學思想，解答此題的關鍵是對（2）中函數(shù)g（x）的值域的求法，屬中檔題．