Question

1．如圖，在平面四邊形ABCD中，若AC=6，（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$）•（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$）=11，則BD=

Answer 1

分析 取四邊形各及對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，利用中位線(xiàn)定理把$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$用中位線(xiàn)所在向量表示出來(lái)，根據(jù)數(shù)量積列出方程解出BD．

解答 解分別取AD，BC，AB，CD，BD，AC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，M，N，P，Q．
則四邊形EPFQ，MFNE是平行四邊形，
∴$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{EP}+2\overrightarrow{EQ}=2\overrightarrow{EF}$=2（$\overrightarrow{MF}-\overrightarrow{ME}$），$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MF}+2\overrightarrow{ME}$=2（$\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}$），
∵（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$）•（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$）=11，
∴（$\overrightarrow{MF}-\overrightarrow{ME}$）•（$\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}$）=$\frac{11}{4}$，即${\overrightarrow{MF}}^{2}$-${\overrightarrow{ME}}^{2}$=$\frac{11}{4}$．
∴MF=$\frac{1}{2}AC=3$，ME=$\frac{1}{2}BD$，
∴9-$\frac{1}{4}B{D}^{2}$=$\frac{11}{4}$，
∴BD=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的幾何意義，屬于中檔題．