如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=數(shù)學公式，
（1）求證：BC⊥SC；
（2）設(shè)棱SA的中點為M，求異面直線DM與SB所成角的大�。�

解：（1）∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC．
∵SD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD
∴SD⊥BC．
又∵DC∩SD=D，∴BC⊥平面SDC．
∵SC?平面SDC，∴BC⊥SC．
（2）∵SD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴SD⊥AB
又∵AB⊥AD，AD∩SD=D，∴AB⊥平面SAD
∵DM?平面SAD，∴DM⊥AB
連接BD，則Rt△SDB中，BD=，SB=
∴SD==1
可得Rt△SDA中，SD=AD，∴SA邊上的中線DM⊥SA
∵SA和AB是平面SAB內(nèi)的相交直線，
∴DM⊥平面SAB，結(jié)合SB?平面SAB，得DM⊥SB，
∴異面直線DM與SB所成的角為90°．
分析：（1）由SD⊥底面ABCD得SD⊥BC，結(jié)合BC⊥DC，可得BC⊥平面SDC，最后由直線與平面垂直的定義，得BC⊥SC．
（2）類似（1）的證明方法，可得DM⊥AB．連接BD，可算出Rt△SDB中，SD==1，可得△SDA的邊SD=AD，得到SA邊上的中線DM⊥SA，從而得到DM⊥平面SAB，所以DM⊥SB，得異面直線DM與SB所成的角為90°．
點評：本題給出底面為正方形且一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，求證線面垂直并且求異面直線所成角，著重考查了直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）證明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為3的正方形，SD丄底面ABCD，SB=3
3
，點E、G分別在AB，SG 上，且AE=
1
3
AB  CG=
1
3
SC．
（1）證明平面BG∥平面SDE；
（2）求面SAD與面SBC所成二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•醴陵市模擬）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點，AD=2，AB=1．SP與平面ABCD所成角為
π4
． 
（1）求證：平面SPD⊥平面SAP；
（2）求三棱錐S-APD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐S-ABCD底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一點，且SE=2EC，SA=6，AB=2．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）求三棱錐E-BCD的體積V．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•西城區(qū)二模）如圖，四棱錐S-ABCD中，平面SAC與底面ABCD垂直，側(cè)棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°，AD∥BC，且AB=BC=2AD．
（1）求證：四邊形ABCD是直角梯形；
（2）求異面直線SB與CD所成角的大小；
（3）求直線AC與平面SAB所成角的大�。�

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