Question

已知函數(shù)，.

（1）若存在，使得，求a的取值范圍；

（2）若有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，證明：.

 

Answer 1

（1）(1，＋∞)；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，先將已知不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將所求的參數(shù)分離出來(lái)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用“單調(diào)遞增，單調(diào)遞減”判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)最值的位置，并求出函數(shù)的最值，代入到所轉(zhuǎn)化的式子中即可；第二問(wèn)，將方程的2個(gè)根分別代入到方程中，得到2個(gè)式子，2個(gè)式子作差，得到方程將a分離出來(lái)，對(duì)求導(dǎo)，將代入，將上述的a也代入，得到所求式子的左邊，只需證明即可，通過(guò)變形，只需證明即可，構(gòu)造新函數(shù)，所以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，判斷，即.

試題解析：（1）當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＜0等價(jià)于．

令，則，

當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g?(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g?(x)＞0．

g(x)有最小值g(1)＝1． 4分

故a的取值范圍是(1，＋∞)． 5分

（2）因f(x)＝x，即x2－lnx＝(a＋1)x有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解u，v．

故u2－lnu＝(a＋1)u，v2－lnv＝(a＋1)v．

于是(u＋v)(u－v)－(lnu－lnv)＝(a＋1)(u－v)． 7分

由u－v＜0解得．

又，所以

． 9分

設(shè)，則當(dāng)u∈(0，v)時(shí)，，

h(u)在(0，v)單調(diào)遞增，h(u)＜h(v)＝0，

從而，因此． 12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、恒成立問(wèn)題.