設(shè)奇函數(shù)f（x）對任意x∈R都有數(shù)學公式．
（1）求數(shù)學公式和數(shù)學公式的值；
（2）數(shù)列{an}滿足：an=f（0）+數(shù)學公式數(shù)學公式，數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？請給予證明．

解：（1）∵，且f（x）是奇函數(shù)
∴
∴，故（3分）
因為，所以．
令，得，即．（6分）
（2）令
又
兩式相加．
所以，（6分）
故（10分）
又．故數(shù)列{an}是等差數(shù)列．（12分）
分析：（1）根據(jù)，且f（x）是奇函數(shù)，將代入，可求的值，再結(jié)合奇函數(shù)得到．令，即可求得結(jié)論；
（2）利用倒序相加法結(jié)合第一問的結(jié)論，求出Sn，進而求出數(shù)列{an}的通項公式，再根據(jù)定義即可證得數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
點評：本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合問題．解決本題第一問的關(guān)鍵在于利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到．而解決第二問的關(guān)鍵在于用到了倒序相加求和．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)奇函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+
1
2
．
（1）求f(
1
2
)和f(
k
n
)+f(
n-k
n
)(k=0，1，2，…，n)的值；
（2）數(shù)列{an}滿足：an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)-f(
1
2
)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？請給予證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•廣東模擬）設(shè)奇函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+
1
2
．
（1）求f(
1
2
)和f(
k
n
)+f(
n-k
n
)(k=0，1，2，…，n)的值；
（2）數(shù)列{an}滿足：an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)-f(
1
2
)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？請給予證明；
（3）設(shè)m與k為兩個給定的不同的正整數(shù)，{an}是滿足（2）中條件的數(shù)列，
證明：
s
n=1
|
(m+1)nan+1
-
(kn+n+k+1)an
|＜(
s+1
2
)2|
m
-
k
|（s=1，2，…）．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)奇函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+
1
2
．
（1）求f(
1
2
)和f(
k
n
)+f(
n-k
n
)(k=0，1，2，…，n)的值；
（2）數(shù)列{an}滿足：an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)-f(
1
2
)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？請給予證明．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省六校高三11月聯(lián)考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)奇函數(shù)f（x）對任意x∈R都有．
（1）求和的值；
（2）數(shù)列{an}滿足：an=f（0）+，數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？請給予證明；
（3）設(shè)m與k為兩個給定的不同的正整數(shù)，{an}是滿足（2）中條件的數(shù)列，
證明：（s=1，2，…）．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省廣州市六校高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷（文科）（廣東省實驗中學、華師附中、廣州二中、廣雅中學、執(zhí)信中學、廣州六中）（解析版） 題型：解答題

設(shè)奇函數(shù)f（x）對任意x∈R都有．
（1）求和的值；
（2）數(shù)列{an}滿足：an=f（0）+，數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？請給予證明；
（3）設(shè)m與k為兩個給定的不同的正整數(shù)，{an}是滿足（2）中條件的數(shù)列，
證明：（s=1，2，…）．

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