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14.在直角坐標(biāo)系xoy中,直線l經(jīng)過點P(7,0),其傾斜角為α,以原點o為極點,以x軸非負半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系,設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-6ρcosθ+5=0.
(1)若直線l與曲線C有公共點,求α的取值范圍:
(2)設(shè)M(x,y)為曲線C上任意一點,求2x+32y的取值范圍.

分析 (1)利用互化公式即可把曲線C的極坐標(biāo)方程ρ2-6ρcosθ+5=0化為直角坐標(biāo)方程.直線l的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=7+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.(t為參數(shù)),代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得t2+8tcosα+12=0,根據(jù)直線l與曲線C有公共點,可得△≥0,利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
(2)曲線C的方程x2+y2-6x+5=0可化為(x-3)2+y2=4,其參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.,(θ為參數(shù)),設(shè)M(x,y)為曲線上任意一點,可得2x+\frac{3}{2}y=6+4cosθ+3sinθ,利用和差公式化簡即可得出取值范圍.

解答 解:(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程ρ2-6ρcosθ+5=0化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2-6x+5=0,
直線l的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=7+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.(t為參數(shù)),
將參數(shù)方程代入x2+y2-6x+5=0,整理得t2+8tcosα+12=0,
∵直線l與曲線C有公共點,∴△=64cos2α-48≥0,
∴cosα≥\frac{\sqrt{3}}{2},或cosα≤-\frac{\sqrt{3}}{2},∵α∈[0,π),
∴α的取值范圍是[0,\frac{π}{6}][\frac{5π}{6},π)
(2)曲線C的方程x2+y2-6x+5=0可化為(x-3)2+y2=4,
其參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.,(θ為參數(shù)),
∵M(x,y)為曲線上任意一點,
2x+\frac{3}{2}y=6+4cosθ+3sinθ=6+5sin({θ+φ})(sinφ=\frac{4}{5},cosφ=\frac{3}{5})
2x+\frac{3}{2}y的取值范圍是[1,11].

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、三角函數(shù)求值,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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