Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱A₁A垂直于底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（ 2）求證：BC₁⊥平面AB₁C．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明AC₁∥平面CDB₁；
（ 2）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明BC₁⊥平面AB₁C．

解答： （1）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，
∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，
∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁---------------------------（4分）
（2）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²∴AC⊥BC，--------------①
又側(cè)棱垂直于底面ABC，∴CC₁⊥AC---------------②
∴AC⊥面BCC₁∴AC⊥BC₁；-------------（8分）
又BC=CC₁，∴BC₁⊥CB₁
∴BC₁⊥平面AB₁C．-------------（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查線面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．