Question

函數(shù)f(x)=cos[x-

3π

4

]+sin2x的值域是（　�。�

Answer 1

分析：利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為 

2

2

（sinx-cosx）+2sinxcosx，設(shè)

2

2

（sinx-cosx）=t，則 f（x）=-2t²+t+1，t∈[-1，1]．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的最大值和最小值，從而求得函數(shù)的值域．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=cos[x-

3π

4

]+sin2x=-

2

2

cosx+

2

2

sinx+sin2x=

2

2

（sinx-cosx）+2sinxcosx，
設(shè)

2

2

（sinx-cosx）=t，平方可得 2sinxcosx=1-2t²，且-1≤t≤1，∴f（x）=-2t²+t+1，t∈[-1，1]．
故當(dāng)t=

1

4

時(shí)，函數(shù)f（x）=-2t²+t+1取得最大值為

9

8

，當(dāng)t=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=-2t²+t+1取得最小值為-2，
故函數(shù)f(x)=cos[x-

3π

4

]+sin2x的值域是[-2，

9

8

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．