【題目】設函數(shù)

（1）若在點處的切線斜率為，求的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，求證：在時， .

【答案】（1）；（2）當時， 的單調(diào)減區(qū)間為.單調(diào)增區(qū)間為；

當時， 的單調(diào)減區(qū)間為；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先求出，通過在點處的切線斜率，可得，解得；（2）由（1）知： ，結合導數(shù)分①、②兩種情況討論分別令求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；；（3）通過變形，只需證明即可，利用，根據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質、函數(shù)的單調(diào)性及零點判定定理即得到結論.

試題解析：（1）若在點處的切線斜率為，

，

得.

（2）由

當時，令解得：

當變化時， 隨變化情況如表：

由表可知： 在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)

當時， ， 的單調(diào)減區(qū)間為

所以，當時， 的單調(diào)減區(qū)間為.單調(diào)增區(qū)間為

當時， 的單調(diào)減區(qū)間為

（3）當時，要證，即證

令，只需證

∵

由指數(shù)函數(shù)及幕函數(shù)的性質知： 在上是增函數(shù)

∵，∴在內(nèi)存在唯一的零點，

也即在上有唯一零點

設的零點為，則，即，

由的單調(diào)性知：

當時， ， 為減函數(shù)

當時， ， 為增函數(shù)，

所以當時.

∴.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】給出下列4個命題

①“若，則”的否命題是“若，則”；

②若命題，則為真命題；

③“平面向量夾角為銳角，則”的逆命題為真命題；

④“函數(shù)有零點”是“函數(shù)在上為減函數(shù)”的充要條件.

其中正確的命題個數(shù)是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【題目】在等差數(shù)列中， ，其前項和為，等比數(shù)列的各項均為正數(shù)， ，且， .

（1）求數(shù)列和的通項公式；

（2）令，設數(shù)列的前項和為，求（）的最大值與最小值.

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【題目】設函數(shù)f（x）=a﹣ ，
（1）若x∈[ ，+∞），①判斷函數(shù)g（x）=f（x）﹣2x的單調(diào)性并加以證明；②如果f（x）≤2x恒成立，求a的取值范圍；
（2）若總存在m，n使得當x∈[m，n]時，恰有f（x）∈[2m，2n]，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列各函數(shù)在其定義域中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（ ）
A.y=x+1
B.y=﹣x3
C.y=﹣
D.y=x|x|

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【題目】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（ ）
A.
B.y=e﹣x
C.y=lg|x|
D.y=﹣x2+1

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【題目】若Ai（i=1，2，3，…，n）是△AOB所在平面內(nèi)的點，且 = ，給出下列說法：
·（1）| |=| |=| |=…=| |
·（2）| |的最小值一定是| |
·（3）點A和點Ai一定共線
·（4）向量 及 在向量 方向上的投影必定相等
其中正確的個數(shù)是（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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【題目】已知函數(shù)有三個不同的零點， ， （其中），則的值為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】如圖，有一塊半徑為2的半圓形紙片，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上，設CD=2x，梯形ABCD的周長為y．
（1）求出y關于x的函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求y的最大值，并指出相應的x值．

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