Question

在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ADC=60°，點E，F，G分別在PD，AD，AC上，且PE：ED=AF：FD=CG：GA=2：1．
（1）證明：PA∥平面EFG；
（2）證明：AC⊥EG．

Answer 1

分析：（1）根據平行線分線段成比例定理可得PA∥EF，進而由線面平行的判定定理可得PA∥平面EFG；
（2）連接BD，交AC于點O，由等腰三角形三線合一及正方形對角線相互垂直，易證得EF⊥底面ABCD，再由線面垂直的定義可得答案．

解答：證明：（1）由PE：ED=AF：FD得PA∥EF…（3分）
又EF?平面EFG，PA?平面EFG，
故PA∥平面EFG…（6分）
（2）如圖，連接BD，交AC于點O，則AC⊥BD，且O為AC的中點，
由CG：GA=2：1，得AG=

1

3

AC，OG=OA-AG=

1

2

AC-

1

3

AC=

1

6

AC，
故AG：GO=2：1
故AG：GO=AF：FD，故GF∥OD，即GF∥BD
又AC⊥BD，故AC⊥GF…（8分）
因為PA⊥底面ABCD，PA∥EF，所以EF⊥底面ABCD，
又AC?底面ABCD，故AC⊥EF…（10分）
所以AC⊥平面EFG，故AC⊥EG…（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質，其中（1）的關鍵是在平面EFG上找到與PA平行的直線，而（2）的關鍵是熟練掌握空間線面垂直，線線垂直之間的相互轉化