Question

18．點(diǎn)M（x，y）在函數(shù)y=2x+8的圖象上，當(dāng)x∈[-3，5]時(shí)，
（1）求$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍；
（2）求$\frac{2y+1}{x-6}$的取值范圍；
（3）求$\frac{2x+1}{y-5}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可得$\frac{y+1}{x+1}$的表示點(diǎn)C（-1，-1）與線段y=2x+8，x∈[-3，5]上的點(diǎn)M連線的斜率，由斜率公式結(jié)合傾斜角的關(guān)系可得，
（2）$\frac{2y+1}{x-6}$=2（$\frac{y+\frac{1}{2}}{x-6}$），由題意可得表示點(diǎn)C（6，-$\frac{1}{2}$）與線段y=2x+8，x∈[-3，5]上的點(diǎn)M連線的斜率，由斜率公式結(jié)合傾斜角的關(guān)系可得，
（3）由$\frac{y-5}{2x+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{y-5}{x+\frac{1}{2}}$），由題意可得表示點(diǎn)C（-$\frac{1}{2}$，5）與線段y=2x+8，x∈[-3，5]上的點(diǎn)M連線的斜率，再求出其斜率的倒數(shù)即可．

解答 解：（1）由題意可得表示點(diǎn)C（-1，-1）與線段y=2x+8，x∈[-3，5]上的點(diǎn)M連線的斜率，
易得當(dāng)x=-3時(shí)，y=2，當(dāng)x=5時(shí)，y=18，可得A（-3，2），B（5，18），
由斜率公式可得k_CA=$\frac{2-（-1）}{-3-（-1）}$=-$\frac{3}{2}$，k_CB=$\frac{18+1}{5+1}$=$\frac{19}{6}$，
∴$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍為（-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{19}{6}$，+∞），
（2）$\frac{2y+1}{x-6}$=2（$\frac{y+\frac{1}{2}}{x-6}$），
由題意可得表示點(diǎn)C（6，-$\frac{1}{2}$）與線段y=2x+8，x∈[-3，5]上的點(diǎn)M連線的斜率，
易得當(dāng)x=-3時(shí)，y=2，當(dāng)x=5時(shí)，y=18，可得A（-3，2），B（5，18），
由斜率公式可得k_CA=$\frac{2+\frac{1}{2}}{-3-6}$=-$\frac{5}{18}$，k_CB=$\frac{18+\frac{1}{2}}{5-6}$=-$\frac{37}{2}$，
∴$\frac{2y+1}{x-6}$的取值范圍為[-37，-$\frac{5}{9}$]，
（3）由$\frac{y-5}{2x+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{y-5}{x+\frac{1}{2}}$），
由題意可得表示點(diǎn)C（-$\frac{1}{2}$，5）與線段y=2x+8，x∈[-3，5]上的點(diǎn)M連線的斜率，
易得當(dāng)x=-3時(shí)，y=2，當(dāng)x=5時(shí)，y=18，可得A（-3，2），B（5，18），
由斜率公式可得k_CA=$\frac{2-5}{-3+\frac{1}{2}}$=$\frac{6}{5}$，k_CB=$\frac{18-5}{5+\frac{1}{2}}$=$\frac{26}{11}$，
∴$\frac{y-5}{2x+1}$的取值范圍為[$\frac{3}{5}$，$\frac{13}{11}$]，
∴$\frac{2x+1}{y-5}$的取值范圍[$\frac{11}{13}$，$\frac{5}{3}$]

點(diǎn)評 本題考查直線的斜率，注意直線的斜率和傾斜角的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．