Question

6．求證：函數(shù)y=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù)且在定義域上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)奇偶性的定義與單調性的定義，即可證明函數(shù)y=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$是定義域R上的奇函數(shù)，且為單調增函數(shù)．

解答 證明：函數(shù)y=f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$的定義域為R，
任取x∈R，都有f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
∴f（x）是定義域R上的奇函數(shù)；
又任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，∴2（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）＜0，且${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在定義域R上是單調增函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調性的定義與應用問題，是基礎題目．