Question

如圖，直角梯形ACDE與等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2
（1）求證：AF∥平面BDE；
（2）求四面體B-CDE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP，△BCD中利用中位線定理，證出PF∥DC且PF=DC，結(jié)合題意EA∥DC且EA=DC，可得PF與EA平行且相等，從而得到四邊形AFPE是平行四邊形，可得AF∥EP，再由線面平行判定定理可得AF∥平面BDE；
（2）由面面垂直的性質(zhì)定理，證出BA⊥面ACDE，得BA就是四面體B-CDE的高．根據(jù)直角梯形ACDE的上下底邊長(zhǎng)和直角腰長(zhǎng)，算出△CDE的面積為S_△CDE=S_梯形ACDE-S_△ACE=2，最后利用錐體的體積公式即可算出四面體B-CDE的體積．
解答：解：（1）取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP，…（1分）
∵△BCD中，PF為中位線，
∴PF∥DC且PF=DC，
又∵AE∥CD，DC=2AE2
∴EA∥DC且EA=DC，
由此可得PF∥EA，且PF=EA…（3分）
∴四邊形AFPE是平行四邊形，可得AF∥EP…（5分）
∵EP?面BDE，AF?面BDE，∴AF∥面BDE…（7分）
（2）∵BA⊥AC，面ABC⊥面ACDE，面ABC∩面ACDE=AC
∴BA⊥面ACDE，即BA就是四面體B-CDE的高，BA=2…（10分）
∵DC=AC=2AE=2，AE∥CD
∴
因此，△CDE的面積為S_△CDE=3-1=2…（12分）
∴四面體B-CDE的體積．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊四棱錐，求證線面平行并求四面體的體積．著重考查了三角形的中位線、線面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理和錐體體積的求法等知識(shí)，屬于中檔題．