Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x-

x

．
（Ⅰ）判斷

f(x)

x

的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的零點的個數(shù)；
（Ⅲ）令g（x）=

ax2+ax

f(x)+ x

+lnx，若函數(shù)y=g（x）在（0，

1

e

）內(nèi)有極值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）化簡

f(x)

x

，并求導數(shù)，注意定義域：（0，+∞），求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）運用零點存在定理說明

f(x)

x

在（1，2）內(nèi)有零點，再說明f（x）在（0，+∞）上有且只有兩個零點；
（Ⅲ）對g（x）化簡，并求出導數(shù)，整理合并，再設出h（x）=x²-（2+a）x+1，說明h（x）=0的兩個根，有一個在（0，

1

e

）內(nèi)，另一個大于e，由于h（0）=1，通過h（

1

e

）＞0解出a即可．

解答： 解：（Ⅰ）設φ（x）=

f(x)

x

=x²-1-

1

x

（x＞0），
則φ'（x）=2x+

1

2 x3

＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）∵φ（1）=-1＜0，φ（2）=3-

1

2

＞0，且φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴φ（x）在（1，2）內(nèi)有零點，
又f（x）=x³-x-

x

=x•φ（x），顯然x=0為f（x）的一個零點，
∴f（x）在（0，+∞）上有且只有兩個零點；
（Ⅲ）g（x）=

ax2+ax

x3-x

+lnx=lnx+

a

x-1

，
則g'（x）=

1

x

-

a

(x-1)2

=

x2-(2+a)x+1

x(x-1)2

，
設h（x）=x²-（2+a）x+1，
則h（x）=0有兩個不同的根x₁，x₂，且有一根在（0，

1

e

）內(nèi)，
不妨設0＜x₁＜

1

e

，由于x₁x₂=1，即x₂＞e，
由于h（0）=1，故只需h（

1

e

）＜0即可，
即

1

e2

-（2+a）•

1

e

+1＜0，解得a＞e+

1

e

-2，
∴實數(shù)a的取值范圍是（e+

1

e

-2，+∞）．

點評：本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合運用：求單調(diào)區(qū)間，求極值，同時考查零點存在定理和二次方程實根的分布，是一道綜合題．