Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：
（1）a₁＜0，b₁＞0；
（2）當(dāng)

ak-1+bk-1

2

≥0時(shí)a_k=a_k-1，bk=

ak-1+bk-1

2

；當(dāng)

ak-1+bk-1

2

＜0時(shí)，ak=

ak-1+bk-1

2

，b_k=b_k-1（k≥2，k∈N^*）．
（Ⅰ）如果a₁=-3，b₁=7，試求a₂，b₂，a₃，b₃；
（Ⅱ）證明：數(shù)列{b_n-a_n}是一個(gè)等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)n（n≥2）是滿足b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n的最大整數(shù)，證明n＞log2

a1-b1

a1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)?span id="hv9hjjb" class="MathJye">

a1+b1

2

=2＞0，所以a₂=a₁=-3 依此類推按照（2）的規(guī)則要求，判斷條件，代入計(jì)算．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的具體求項(xiàng)，應(yīng)得到一般的有bk-ak=

bk-1-ak-1

2

，不難證得數(shù)列{b_n-a_n}是一個(gè)等比數(shù)列；
（Ⅲ）先確定必有

ak-1+bk-1

2

≥0  進(jìn)而bn=a1+(b1-a1)(

1

2

)n-1，n是滿足

an+bn

2

＜0的最小整數(shù)． 將此式轉(zhuǎn)化求證．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="9h5n9dd" class="MathJye">

a1+b1

2

=2＞0，所以a₂=a₁=-3，b2=

a1+b1

2

=2
因?yàn)?span id="b17x51p" class="MathJye">

a2+b2

2

=-

1

2

＜0，所以a3=

a2+b2

2

=-

1

2

，b₃=b₂=2
（2）證明：當(dāng)

ak-1+bk-1

2

≥0時(shí)，bk-ak=

ak-1+bk-1

2

-ak-1=

bk-1-ak-1

2

；
當(dāng)

ak-1+bk-1

2

＜0時(shí)，bk-ak=bk-1-

ak-1+bk-1

2

=

bk-1-ak-1

2

因此不管哪種情況，都有bk-ak=

bk-1-ak-1

2

，所以數(shù)列{b_n-a_n}是首項(xiàng)為b₁-a₁，
公比為

1

2

的等比數(shù)列                                
（3）證明：由（2）可得bn-an=(b1-a1)(

1

2

)n-1
因?yàn)閎₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n（n≥2），所以b_k≠b_k-1（2≤k≤n），
所以

ak-1+bk-1

2

＜0不成立，所以

ak-1+bk-1

2

≥0
此時(shí)對(duì)于2≤k≤n，都有a_k=a_k-1，bk=

ak-1+bk-1

2

，
于是a₁=a₂=…=a_n，所以bn=a1+(b1-a1)(

1

2

)n-1
若

an+bn

2

≥0，則bn+1=

an+bn

2

，bn+1=a1+(b1-a1)(

1

2

)n
所以bn+1-bn=[a1+(b1-a1)(

1

2

)n]-[a1+(b1-a1)(

1

2

)n-1]=-(b1-a1)(

1

2

)n＜0，
所以b_n＞b_n+1，這與n是滿足b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n（n≥2）的最大整數(shù)相矛盾，
因此n是滿足

an+bn

2

＜0的最小整數(shù)．

an+bn

2

＜0?a1+(b1-a1)(

1

2

)n＜0?

b1-a1

-a1

＜2n?log2

a1-b1

a1

＜n，命題獲證

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的判定、不等式的證明．要求具有閱讀能力、分析解決問(wèn)題、計(jì)算、分類討論的意識(shí)和能力．屬于難題．