Question

一個棱長為a的正四面體ABCD密封容器，可充滿72升溶液，后發(fā)現(xiàn)分別在棱AB，AC，AD上各被蝕有一小孔E，F(xiàn)，G，AE=

a

6

，AF=

a

3

，AG=

a

2

，則現(xiàn)在這容器最多可盛

70

升溶液．

Answer 1

分析：利用三角形的面積公式和錐體的體積公式，結合正四面體的性質(zhì)加以計算，得出三棱錐G-AEF的體積等于正四面體ABCD體積的

1

36

．根據(jù)題意可得當E、F、G三點在同一個水平面上時，容器可盛最多的溶液．由此即可得出這容器最多可盛的溶液體積．

解答：解：根據(jù)題意，可得當E、F、G三點在同一個水平面上時，容器可盛最多的溶液．
∵△AEF中，AE=

a

6

，AF=

a

3

，∠EAF=60°，
∴S_△AEF=

1

2

AE•AFsin60°=

1

2

×

a

6

×

a

3

×

3

2

=

3 a2

72

∵正四面體ABCD的棱長為a，G為AD的中點，
∴G到平面AEF的距離等于D到平面ABC距離的

1

2

，
設G到平面AEF的距離為d，則d=

1

2

×

6

3

a=

6 a

6

可得V_G-AEF=

1

3

S_△AEF×d=

1

2

×

3 a2

72

×

6 a

6

=

2

432

a3
∵正四面體ABCD的體積V=

1

3

×

3

4

a2×

6

3

a=

2

12

a3
∴由正四面體ABCD密封容器可充滿72升溶液，得
V_G-AEF=

2

432

a3=

1

36

×

2

12

a3=

1

36

×72=2升
因此，容器最多可盛72-2=70升的溶液．
故答案為：70

點評：本題給出實際應用問題，求容器最多可盛的溶液體積．著重考查了三角形的面積公式、錐體的體積公式和結合正四面體的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．