Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

3

），x∈[0，π]且方程f（x）=m有兩個不相等的實根．
（1）求m的取值范圍；
（2）求方程的兩實根之和．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）設(shè)t=2x-

π

3

，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出m的取值范圍．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的對稱性即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)t=2x-

π

3

，
∵x∈[0，π]，
∴2x∈[0，2π]，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

5π

3

]，
即t∈[-

π

3

，

5π

3

]，則函數(shù)y=g（t）=2sint，t∈[-

π

3

，

5π

3

]，
當(dāng)t=

π

2

時，y=g（t）=2，此時f（x）=m有一個根，
當(dāng)t=-

π

3

時，y=g（t）=-

3

2

，此時f（x）=m有三個根，
當(dāng)t=

3π

2

時，y=g（t）=-2，此時f（x）=m有一個根，
∴要使方程f（x）=m有兩個不相等的實根，則-2＜m＜-

3

2

或-

3

2

＜m＜2．
（2）由圖象可知方程g（t）=m的兩個根關(guān)于t=

π

2

或t=

3π

2

對稱，
即2x₁-

π

3

+2x₂-

π

3

=π，或2x₁-

π

3

+2x₂-

π

3

=3π，
解得x₁+x₂=

5π

6

或x₁+x₂=

11π

6

．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的正弦函數(shù)的解決本題的關(guān)鍵．