證明(1)∵g
n(x)=f(x)+f(a-x)=x
n+(a-x)
n,
∴g
n′(x)=nx
n-1+n(a-x)
n-1(-1)=n[x
n-1-(a-x)
n-1]
令g
n′(x)=0,得x
n-1=(a-x)
n-1,又x∈(0,a).
根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性,得x=a-x,即
,由下表:
∴
又g
n(x)在x=0,x=a處連續(xù),且g
n(0)=g
n(a)=a
n,
故
.
(2)∵g
n(x)=f(x)-f(x-a)=x
n-(x-a)
n,
∴g
n′(x)=n[x
n-1-(x-a)
n-1],
∵當x≥a>0時,g
n′(x)>0,∴x≥a>0時,g
n(x)是關于x的增函數(shù),
∴當n≥a時,(n+1)
n-(n+1-a)
n>n
n-(n-a)
n.
∴g
n+1′(n+1)=(n+1)[(n+1)
n-(n+1-a)
n]>(n+1)[n
n-(n-a)
n]>(n+1)[n
n-n(n-a)
n-1]
=(n+1)n[n
n-1-(n-a)
n-1]=(n+1)g
n′(n)
于是
>n+1,而g
2′(2)=2[2
2-1-(2-a)
2-1]=2a
當n≥3時,g
n′(n)=
•
…
•g
2′(2)>n×(n-1)×…×3×2a=n!a,
又n=2時,g
2′(2)=2[2
2-1-(2-a)
2-1]=2!a
故n≥2,n∈N時,有g
n′(n)≥n!a
分析:(1)由已知求g
n(x)的值域,首先求g
n′(x),在利用g
n′(x)>0,g
n′(x)<0分別求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間,得到函數(shù)的極值點x=
,進而得到函數(shù)的最值,即可以得到函數(shù)的值域.
(2)當x≥a>0時,g
n′(x)=n[x
n-1-(x-a)
n-1]>0,g
n(x)是關于x的增函數(shù),當n≥a時,得(n+1)
n-(n+1-a)
n>n
n-(n-a)
n.
進而得
>n+1,(*),根據(jù)(*)式可以構造等式g
n′(n)=
•
…
•g
2′(2)>n×(n-1)×…×3×2a=n!a,又g
2′(2)=2[2
2-1-(2-a)
2-1]=2!a,故n≥2,n∈N時,有g
n′(n)≥n!a
點評:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本的函數(shù)知識,對(2)最關鍵的地方,是善于觀察,結合平時的總結經(jīng)驗,構造等式g
n′(n)=
•
…
•g
2′(2),進而得到結果.這道題的結論中出現(xiàn)n!,這時我們要能夠想到構造類似的等式,這都是平時的總結經(jīng)驗,只有平時多總結、探索,才能在實戰(zhàn)中,做到舉一反三.