Question

已知數(shù)列{a_n}滿足

a

3 n

=4-(bn+2)（n∈N^*），數(shù)列{b_n}前n項和Sn=

3

2

n2-

1

2

n，數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_nb_n．
（1）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n；
（3）若cn≤

1

4

m2+m-1對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據前n項和與第n項的關系求出數(shù)列{b_n}的通項公式，再由{a_n}滿足

a

3 n

=4-(bn+2)（n∈N^*），求出數(shù)列{a_n}的
通項公式．
（2）先求出數(shù)列{c_n}的通項公式，再利用錯位相減法求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n ．
（3）先判斷數(shù)列{c_n}的單調性，可得其最大值，要使cn≤

1

4

m2+m-1對一切正整數(shù)n恒成立，只要數(shù)列{c_n}的最大值小于或等于

1

4

m2+m-1即可，由此求得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）由已知得，當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=(

3

2

n2-

1

2

n)-(

3

2

(n-1)2-

1

2

(n-1))=3n-2，
又b₁=1=3×1-2，符合上式．故數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=3n-2．
又∵

a

3 n

=4-(bn+2)，
∴an=4-

(bn+2)

3

=4-

(3n-2)+2

3

=(

1

4

)n，
故數(shù)列{a_n}的通項公式為an=(

1

4

)n．
（2）cn=anbn=(3n-2)•(

1

4

)n，
Tn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(3n-2)×(

1

4

)n①，

1

4

Tn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4+…+(3n-5)×(

1

4

)n+(3n-2)×(

1

4

)n+1②，
①-②得 

3

4

Tn=

1

4

+3×[(

1

4

)2+(

1

4

)3+(

1

4

)4+…+(

1

4

)n]-(3n-2)×(

1

4

)n+1
=

1

4

+3×

( 1 4 )2[1-( 1 4 )n-1]

1- 1 4

-(3n-2)×(

1

4

)n+1=

1

2

-(3n+2)×(

1

4

)n+1，
∴Tn=

2

3

-

12n+8

3

×(

1

4

)n+1═

2

3

-

3n+2

3

×(

1

4

)n．
（3）∵cn=(3n-2)•(

1

4

)n，
∴cn+1-cn=(3n+1)•(

1

4

)n+1-(3n-2)•(

1

4

)n=(

1

4

)n•[

3n+1

4

-(3n-2)]=-9•(

1

4

)n+1(n-1)，
當n=1時，c_n+1=c_n；當n≥2時，c_n+1≤c_n，∴(cn)max=c1=c2=

1

4

．
若cn≤

1

4

m2+m-1對一切正整數(shù)n恒成立，則只要

1

4

m2+m-1≥

1

4

即可，（m+5）（m-1）≥0，
解得 m≤-5，或m≥1，
故實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-5]∪[1，+∞）．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式，用錯位相減法、公式法進行數(shù)列求和，函數(shù)的恒成立問題，
屬于難題．