Question

（2011•北京模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

OA

=(4，0)，

OB

=(1，

3

)，點(diǎn)C滿足∠OCB=

π

4

．
（Ⅰ）求

OB

•

BA

；
（Ⅱ）證明：|

OC

|=2

2

sin∠OBC；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)λ，使得

BC

=λ

BA

成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

BA

=

OA

-

OB

，再結(jié)合數(shù)量積公式，即可求

OB

•

BA

；
（Ⅱ）利用面積相等，結(jié)合數(shù)量積公式，化簡得證；
（Ⅲ）假設(shè)存在實數(shù)λ，使得

BC

=λ

BA

成立，則

OC

=(3λ+1，

3

-

3

λ），

BC

=(3λ，-

3

λ)，結(jié)合∠OCB=

π

4

，利用數(shù)量積公式，可求λ的值．

解答：（Ⅰ）解：∵

OA

=(4，0)，

OB

=(1，

3

)，∴

BA

=

OA

-

OB

=（3，-

3

）
∴

OB

•

BA

=3-3=0；
（Ⅱ）證明：∵

1

2

|

OC

|•|

CB

|sin∠OCB=

1

2

|

OB

|•|

CB

|sin∠OBC，
∴|

OC

|×

2

2

=2sin∠OBC
∴|

OC

|=2

2

sin∠OBC；
（Ⅲ）解：假設(shè)存在實數(shù)λ，使得

BC

=λ

BA

成立，則

OC

=(3λ+1，

3

-

3

λ），

BC

=(3λ，-

3

λ)
∴cos

π

4

=

OC • BC

| OC || BC |

=

12λ2

12λ2+4 × 12λ2

=

2

2

∴λ=±

3

3

．
即存在實數(shù)λ=±

3

3

，使得

BC

=λ

BA

成立

點(diǎn)評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查向量的減法，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，綜合性強(qiáng)．