Question

【題目】在數(shù)列中，，

（I）求，，的值，由此猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式：

（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

Answer 1

【答案】

【解析】

試題（1）數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值是多少；（3）由時(shí)等式成立，推出時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化（差異），明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫(xiě)出證明過(guò)程，由于“猜想”是“證明”的前提和“對(duì)象”，務(wù)必保證猜想的正確性，同時(shí)必須嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟書(shū)寫(xiě).

試題解析：解a1＝＝，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝＝，猜想成立．

②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1，k∈N*）時(shí)猜想成立，即＝．

則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

＝＝＝，

所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也成立，

由①②知，對(duì)n∈N*，an＝都成立．